Introdução às Derivadas: o que são e como calcular

A derivada é um dos conceitos mais poderosos da matemática moderna. Ela mede a taxa de variação de uma função — essencialmente, "quão rápido" algo está mudando em um determinado instante.

O que é uma derivada?

Intuitivamente, a derivada de uma função $f(x)$ em um ponto $x_0$ é a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f$ naquele ponto.

Formalmente, a derivada é definida como:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Notações comuns

A derivada pode ser escrita de várias formas: $f'(x) = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}[f(x)] = \dot{f}$

Regras básicas de derivação

Regra da potência

$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$

Exemplos:

• $\frac{d}{dx}[x^3] = 3x^2$
• $\frac{d}{dx}[x^{-2}] = -2x^{-3}$
• $\frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \frac{d}{dx}[x^{1/2}] = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Constante

$\frac{d}{dx}[c] = 0$

Multiplicação por constante

$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c \cdot f'(x)$

Soma e diferença

$\frac{d}{dx}[f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$

Derivadas das funções trigonométricas

$\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$

$\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$

$\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x$

Exemplo completo

Calcule a derivada de $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7$.

Aplicando a regra da potência e a soma:

$f'(x) = 12x^3 - 4x + 5$

Interpretação física

Na física, se $s(t)$ é a posição de um objeto no tempo $t$, então:

• $v(t) = s'(t)$ é a velocidade (derivada da posição)
• $a(t) = v'(t) = s''(t)$ é a aceleração (derivada da velocidade)

Ponto de máximo e mínimo

Quando $f'(x) = 0$, temos um ponto crítico — pode ser máximo, mínimo ou ponto de inflexão.

Para identificar:

• Se $f''(x) < 0$ no ponto crítico → máximo local
• Se $f''(x) > 0$ no ponto crítico → mínimo local

Exemplo: $f(x) = x^2 - 4x + 3$

$f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

$f''(x) = 2 > 0$, então $x = 2$ é um mínimo.

$f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$

O mínimo da parábola está no ponto $(2, -1)$.