Probabilidade: conceitos básicos para o ENEM

A probabilidade mede a chance de um evento ocorrer. É um dos tópicos mais cobrados no ENEM e no dia a dia das ciências exatas.

Definição de probabilidade

A probabilidade de um evento $A$ é:

$P(A) = \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número de casos possíveis}} = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$

onde $\Omega$ é o espaço amostral (conjunto de todos os resultados possíveis).

A probabilidade sempre satisfaz: $0 \leq P(A) \leq 1$.

Exemplo: lançamento de um dado

Ao lançar um dado comum ($\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$):

• $P(\text{sair } 3) = \frac{1}{6} \approx 16{,}7\%$
• $P(\text{sair número par}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\%$
• $P(\text{sair número} > 4) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33{,}3\%$

Evento complementar

O complementar de $A$ (denotado $\bar{A}$) é o evento "A não ocorre":

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Exemplo: Se a probabilidade de chover é 30%, a probabilidade de não chover é $1 - 0{,}3 = 0{,}7 = 70\%$.

União de eventos

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Se $A$ e $B$ são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos): $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Eventos independentes

Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta o outro:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Exemplo: Probabilidade de cara em duas moedas seguidas: $P(\text{cara e cara}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 25\%$

Probabilidade condicional

A probabilidade de $A$ dado que $B$ ocorreu:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Exemplo ENEM-style

Em uma turma de 30 alunos, 18 estudam matemática (M) e 12 estudam física (F). Sabe-se que 6 alunos estudam ambas. Escolhendo um aluno ao acaso, qual é a probabilidade de ele estudar pelo menos uma das disciplinas?

$P(M \cup F) = P(M) + P(F) - P(M \cap F)$ $= \frac{18}{30} + \frac{12}{30} - \frac{6}{30} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5} = 80\%$

Tabela resumo

| Situação | Fórmula | |---------|---------| | Probabilidade simples | $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$ | | Complementar | $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ | | União (geral) | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ | | Eventos independentes | $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ | | Condicional | $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ |