Teorema de Pitágoras: tudo que você precisa saber

O Teorema de Pitágoras é provavelmente o teorema mais famoso da matemática. Ele descreve uma relação fundamental em triângulos retângulos que é usada em arquitetura, engenharia, jogos e muito mais.

O Teorema

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos:

$a^2 = b^2 + c^2$

onde:

• $a$ é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto)
• $b$ e $c$ são os catetos

Identificando os lados

Em um triângulo retângulo:

• Hipotenusa: o lado maior, sempre oposto ao ângulo de 90°
• Catetos: os outros dois lados que formam o ângulo reto

Dica: A hipotenusa é sempre o maior dos três lados!

Exemplo clássico: triângulo 3-4-5

Um dos tríplices pitagóricos mais famosos: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \checkmark$

Sempre que você vir um triângulo retângulo com catetos 3 e 4, a hipotenusa é 5.

Encontrando a hipotenusa

Problema: Um triângulo retângulo tem catetos de 5 cm e 12 cm. Qual é a hipotenusa?

$a = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}$

Encontrando um cateto

Problema: A hipotenusa mede 10 cm e um cateto mede 6 cm. Qual é o outro cateto?

$b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$

Tríplices Pitagóricos Comuns

Memorize estes — aparecem muito no ENEM:

| Catetos | Hipotenusa | |---------|-----------| | 3, 4 | 5 | | 5, 12 | 13 | | 8, 15 | 17 | | 7, 24 | 25 |

E seus múltiplos: 6-8-10, 9-12-15, etc.

Aplicação prática

Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede. A base da escada está a 3 m da parede. A que altura a escada alcança?

$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$

A escada alcança 4 metros de altura.

Generalização: Lei dos Cossenos

Para triângulos não retângulos, usamos a Lei dos Cossenos:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(\theta)$

Quando $\theta = 90°$, $\cos(90°) = 0$ e voltamos exatamente ao Teorema de Pitágoras!